Taide taittaa matematiikkaa – Osa 2(2)

Kirjoittaja: 

Kirsi Peltonen, matematiikan dosentti, Aalto-yliopisto, Helsingin Yliopisto, kirsi.peltonen@aalto.fi

Mitä työpajassa tehtiin?

Ensimmäisen tapaamisen varsinainen työpajaosuus keskittyi moduuliorigameihin. Ensimmäinen toistaiseksi tunnettu moduuliorigami Temate Baku (tai tamatebako) löytyy Hayota Ohokan teoksesta Ranma-Zushki vuodelta 1734. Kunihiko Kasahara on myöhemmin julkaissut ohjeen tästä haastavasta mallista [6] johon liittyy myös kaunis tarina. Moduuliorigameihin nykyään liitettävät Kusudama (= ’lääkepallo’)-tekniikat ovat ilmeisesti syntyneet riippumattomasti Japanin Heian-kaudella (794–1192) mm. yrtti- ja kukkakimpuista. Runsaasti koristellut pallomaiset rakenteet ovat yhdistyneet myöhemmin moduuliorigamien symmetrioihin. Systemaattisemmin moduuliorigameja alkoi ilmestyä vasta 50-luvun jälkeen. Mitsonobu Sonobe, Kunihiko Kasahara, Robert Neale, Tomoko Fuse, Tom Hull ja monet muut ovat kehitelleet lukemattomia nerokkaita moduuleja eri tarkoituksiin.

Aluksi tutustuttiin joihinkin käyntikorttiorigameihin, joiden ideana on tehdä kiinnostavia kokonaisuuksia yksinkertaisista moduuleista (Kuva 6). Kokeilimme Yhdysvalloissa yleiseen käyntikorttikokoon (7:4) soveltuvia malleja, joita ovat kehittäneet mm. T. Hull, J. Mosely ja K. Kawamura.

 

Kuva 6. Käyntikorttiorigamien taittelua Lumarts laboratoriossa.

 

 

Kaikki tässä työpajassa toteutetut käyntikorttiorigamit löytyvät teoksesta [5]. Ensimmäisestä taittelumallista syntyy kaksi lähes tasasivuista kolmiota (yksi tehtävä on päätellä tämä tarkasti), joita voi liittää monitahokkaiksi. Tehtävässä käytetään sekä oikea-, että vasenkätistä mallia. Stabiilin kiinnitysmekanismin etsiminen on osa ratkaistavaa pulmaa. Tutkimisen kautta löytyvät säännöllisistä monitahokkaista tetraedri, oktaedri ja ikosaedri. Puhtaassa origamitaittelussa ei käytetä liimaa tai muita apuvälineitä, mutta esimerkiksi ikosaedrin kohdalla suosittelen lämpimästi vaikkapa teipin käyttöä rakentamista helpottamassa tarpeen mukaan. Aputeipit voi halutessaan poistaa lopuksi paremman taiteellisen vaikutelman luomiseksi. Moduuliorigameja rakentaessa syntyy yleensä aina helppojakin moduuleja yhdistettäessä selvästi havaittava ’frustraatiovaihe’, jolloin viimeistä palaa kiinnittäessä joutuu hieman availemaan jo kiinnitettyjä osia ennen kuin palaset asettuvat oikeaan asentoon. Tämän symmetrioihin liittyvän stabiilisuuden löytyminen on tajuntaa avaava kokemus (Kuva 7).

 

Kuva 7. Ikosaedri moduuliorigamina.

 

 

Tämän jälkeen syntyy luontevasti esimerkiksi kysymys muista kuin säännöllisistä monitahokkaista, jotka saadaan tasasivuisista kolmioista. Näitä erikoisempia Johnsonin kappaleita syntyi myös työpajan aikana (Kuva 8).

 

Kuva 8. Erja Salmela ja Johnsonin kappale.

 

 

Mekanismi ei kuitenkaan ole erityisen stabiili monimutkaisempien kappaleiden kohdalla, jotka eivät välttämättä pysy koossa ilman teippausta. Kiinnostavia kappaleita kuitenkin syntyy tätä kautta ja erittäin hyviä kysymyksiä monitahokkaiden luonteesta tulee esiin.

Origameihin liittyvää rakenteluaspektia ei myöskään ole syytä vähätellä. Esimerkkinä tästä tutustuimme samoilla käyntikorteilla mahdolliseen kuutioon, joita voidaan kiinnittää suhteellisen stabiilisti toisiinsa. Rakennelman voi lopuksi myös paneloida samoilla moduuleilla, jolloin lopputulos on paitsi kauniimpi myös kestävämpi. Menetelmällä voi tehdä esimerkiksi Mengerin sienenä tunnetun fraktaalin perusosan tai toistaa sitä edelleen suuremmiksi rakenteiksi kuten esimerkiksi J. Mosely [12] on toteuttanut huikeissa työpajoissaan maailmalla. Moduuli taipuu hyvin moninaisiin rakennelmiin (Kuva 9).

 

Kuva 9. Mengerin sienen perusosa moduuliorigamina.

 

 

Kolmas esimerkki liittyi kuboktaedrina tunnettuun Arkhimedeen kappaleeseen, joka koostuu kuudesta neliöstä ja kahdeksasta kolmiosta. Sen muodosta saa idean tutkimalla kuution tai oktaedrin kärkien ’tylppäämistä’ (Kuva 10).

 

Kuva 10. Kuboktaedri kuutiota tylppäämällä.

 

 

Tässä harjoituksessa [8] rakennettiin ensin Paul Jacksonin kuutiona tunnettu origami, jonka yksi kulma käännettiin seuraavassa vaiheessa sisään päin David Mitchellin menetelmällä muodostaen Columbuksen kuutiona tunnetun rakenteen. Näitä lommoutettuja kuutioita voi sellaisenaan yhdistää torneiksi, renkaiksi tai monimutkaisemmiksi rakennelmiksi lommoutuskohtia lisäämällä. Liimaus on useimmiten myös tässä tarpeen. Kun kuution kaikki kärjet lommoutetaan, saadaan esiin kuboktaedrin muoto, joka on hyvin stabiili sellaisenaan ilman teippiä tai muita kiinnitystarpeita. Lisäksi taittelukaaviosta löytyy idea pyramidin rakentamiseksi, joka vastaa täsmälleen kuutiosta poistettua osaa. Menetelmä antaa näin yksinkertaisen tavan laskea kuboktaedrin tilavuus.

Työpajan osallistujat huomasivat, että samalla menetelmällä saa myös tylpättynä kuutiona tunnetun Arkhimedeen kappaleen (6 kahdeksankulmiota ja 8 kolmiota) kun särmiä lyhennetään vain 1/3 pituudelta kuhunkin kulmaan. Helsingin Yliopiston matematiikan laitoksen opettajalinjan opiskelija Erja Salmela toteutti tämän kappaleen tavallisesta kopiopaperista (Kuva 11).

 

Kuva 11. Tylpätty kuutio. (Kuva Erja Salmela)

 

 

Tämän jälkeen osallistujat saivat kotitehtäväksi rakentaa A5-kokoisesta paperista Catalan-monitahokkaana tunnetun rombisen dodekaedrin, joka on kuboktaedrin duaalikappale koostuen kahdestatoista rombista (Kuva 12).

 

Kuva 12. Rombinen dodekaedri.

 

 

Toinen tapaaminen

Seuraavalla tapaamiskerralla reflektoitiin aluksi edelliskerralla koettua ja heränneitä ajatuksia. Varsinaisessa työpajaosuudessa tutustuttiin käyräviivaiseen taitteluun ja origamitesselaatioihin. Samankeskisistä ympyröistä vuorotellen huippuja ja laaksoja taittelemalla syntyy hyperbolisen paraboloidin kaltainen rakenne (Kuva 13).

 

Kuva 13. Kristallikukkia peilisaleissa kurssilta: Hyperbolinen paraboloidi.

 

 

Tämän rakenteen tunsivat jo Josef Albers (1927–1928) ja hänen oppilaansa Bauhaus-taidekoulussa. Käsillä olevaan työpajaan oli laserleikattu valmiilla urilla varustetut ympyrärenkaat jääpaperista, joita päästiin taittelemaan. Hellävaraisen taittelun lopputuloksena on yllättäviä vapausasteita omaava kappale. Edelleen avoin kysymys on, voidaanko tämä taittelu tehdä täysin jäykästä materiaalista vai muuttaako taittelu pinnan pisteiden välisiä etäisyyksiä. Jos etäisyydet eivät muutu, niin kyseessä on ns. jäykkä origami. Aihetta on tutkinut mm. Aallon Science Instituutissa vieraileva fyysikko Marcelo Dias [3]. Myös toinen hyperbolisena paraboloidina Bauhaus-ajoilta tunnettu origamimalli oli käsittelyn kohteena. Toteutimme tämän pitkin suoria toteutettavan taittelun tavallisella origamipaperilla. Jo muutaman taitoksen jäljiltä kappaleessa on havaittavissa hienoista ‘kuplimista’, joka johtuu siitä, että taittelu lyhentää hieman pinnan pisteiden välisiä etäisyyksiä. Tilanne on havaittavissa kahden kärkipisteen avulla, joissa taittelun jäljiltä kohtaa vain kolme taitosta ja pisteisiin syntyy näin positiivista kaarevuutta. Asiantila selvisi vasta vuonna 2009 [2] ja samalla löytyi menetelmä taitella ylimääräinen pinta-ala jäykästi hyperbolisen paraboloidin muotoon (Kuva 14).

 

Kuva 14. Hyperbolinen paraboloidi. (Kuva Christina Parviainen)

 

 

Origamitesselaatioista ehkä yksinkertaisimpia, mutta erittäin kiinnostava on ns Miura-kuvio, joka on nimetty astrofyysikko Koryo Miuran mukaan. Vastaava kuvio löytyy kuitenkin jo esimerkiksi Agnolo Bronzinon maalauksessa (1535) olevan naisen hameen miehustasta [11]. Uusimpia Miura-variaatioita löytyy Iittalan ja Issey Miyaken yhteistyönä syntyneestä tämän kevään mallistosta.

Työpajassa toteutettiin Miura-kuvio ensin A4-paperista eleettömän yksinkertaisella ohjeella [5], jonka kautta taittelija pääsee varsin konkreettisella tavalla miettimään esimerkiksi yhdensuuntaisuuden käsitettä. Lopputuloksena on vastakkaisista kulmista kevyesti liikuttelemalla kasaan taittuva ja aukeava origami. Valmiin taitteluhilan avulla Miura toteutettiin myös tavallisesta paperista sekä jääpaperista. Tämän jälkeen osallistujat saivat valita kiinnostuksensa mukaan valmiista taittelupohjista mieleisiään ja tutustua niiden ominaisuuksiin.

Mitä työpajalla saavutettiin?

Kahteen kolmen tunnin mittaiseen työpajaan saa hyvin mahdutettua molempiin tunnin luentomaisen esittelyn yhteiseksi pohjaksi sekä kahden tunnin puuhailuosan. Mallien valinnassa käytin perusteina yksinkertaista rakennetta, mahdollisuutta lisätä helposti vaikeusastetta, matemaattista potentiaalia, toteutettavuutta koulumaailmassa sekä yleistä kiinnostavuutta. Kaikki mallit on toteutettavissa esimerkiksi tavallisesta kopiopaperista, kierrätyspaperista tai paksummasta kartongista. Päädyin myös toteuttamaan työpajan kaksiosaisena, jolloin aikaa jäi myös hieman töiden analysointiin ja yleiseen reflektointiin. Työpajan parhaana antina pidän ehdottomasti syntynyttä vuorovaikutusta, joka kahden intensiivisen tapaamisen aikana ehti tiivistyä luontevaksi. Osa osallistujista intoutui kehittämään malleja edelleen, sekä kokeilemaan uusia haasteita. Olenkin saanut viime aikoina useita ilahduttavia sähköpostiviestejä koulujen opettajanhuoneista. Erityisen kiinnostavaa on ollut saada näkyviin taideaineiden opettajien keskeistä roolia tutkimuksellisen asetelman luomisessa ennakkoluulottomina kyselijöinä, kokeilijoina, rajojen koettelijoina ja haastajina. Esimerkiksi moduuliorigamien kohdalla erilaisiin monitahokkaisiin liittyvät luokittelut tulevat hyvin konkreettisella tavalla esiin, kun kokeilemalla syntyy uusia kappaleita ja niiden ominaisuuksia selvitetään. Ryhmätyönä moduuliorigamit ovat erinomainen väline, joka haastaa hyvin erilaisia taitoja esiin. Moduulien rakentaminen yhdessä sujuu nopeasti ja useista käsistä on apua kokoamisvaiheessa. Materiaalit ja tekniikat on kuitenkin syytä testata huolellisesti etukäteen erityisesti, jos tavoitteena on jokin suurempi rakennusprojekti.

Taittelun kautta opetukseen syntyy luonnollinen tarve analysoinnille. Matemaattinen sisältö muodostuvien kulmien, monikulmioiden, monitahokkaiden sekä niiden ominaisuuksien ja yhteyksien kautta tulee hyvin konkreettiseksi kiinnostuksen kohteeksi oman rakentamisen kautta. Syntyneitä kappaleita tai niiden rakentamisen yhteydessä tehtyjä vaiheita voi käsitellä sopivissa yhteyksissä normaalin opetuksen puitteissa mahdollisten elämyksellisten poikkitieteellisten teemapäivien lisäksi. Taittelun kautta löytyy myös potentiaalia paljon puhutun digitalisoinnin mahdolliseksi sisällöksi.

 

Lämpimät kiitokset tämän ja aiemmin syksyllä 2015 järjestämäni työpajan ihanille osallistujille innostuksesta ja antaumuksellisesta panostuksesta sekä Pirjo Putilalle (Aalto ELEC) ja Riikka Kangaslammelle (Aalto SCI) kurssin mainostamisesta ja järjestelyistä.

 

Lähteet:

[1] Erik Demaine, Martin Demaine: Recent Results in Computational Origami, Origami3, CRC Press, 2002.
[2] Erik Demaine, Martin Demainen, Vi Hart, Gregory Price, Tomohiro Tachi: (Non)existence of Pleated Folds: How Paper Folds Between Creases.
[3] Marcelo A. Dias, Christian D. Santangelo: The shape and mechanics of curved fold origami structures, Europhysics Letters, 2012.
[4] Koshiro Hatori: History of Origami in the East and the West before Interfusion, Origami 5, CRC Press, 2010.
[5] Thomas Hull: Project Origami: Activities for exploring mathematics, CRC Press, 2013.
[6] Kunihiko Kasahara: Extreme Origami, Sterling Publishing 2003.
[7] Miyuki Kawamura: Origami with Trigonometric Functions, Origami3, CRC Press, 2002.
[8] Shi-Pui Kwan: Mathematics and Art through the Cuboctahedron, Origami6: Technology, Art, Education, AMS, 2015.
[9] Robert J. Lang: Origami and Geometric Constructions (http://www.langorigami.com), 2015.
[10] Jeffrey Rutzky, Chris K. Palmer: Shadowfolds: Surprisingly Easy-to-Make Geometric Design in Fabric.
[11] Saadya Sternberg: Symmetry Issues in Collapsible Origami, Symmetry: Culture and Science.
[12] https://en.wikipedia.org/wiki/Jeannine_Mosely
[13] http://bertoldi.seas.harvard.edu/
[14] https://www.youtube.com/watch?v=DXZujFsKtGY

 

[Julkaistu: Dimensio 4/2016]

Lisää eDimensiossa

Erään matematiikan vihaajan tunnustuksia , 2. helmikuu 2017 - 22:35
Dimensio 1/2017 , 26. tammikuu 2017 - 12:57
GeoGebra-täydennyskoulutuksia verkossa , 6. joulukuu 2016 - 16:28
Dimensio 6/2016 , 6. joulukuu 2016 - 16:20
GeoGebra tänään , 26. lokakuu 2016 - 20:22
MAOLin syyskoulutuspäivät Oulussa , 26. lokakuu 2016 - 19:59
Dimensio 5/2016 , 26. lokakuu 2016 - 19:30
Lukion tärkein ainevalinta? , 26. lokakuu 2016 - 18:41
Taide taittaa matematiikkaa – Osa 2(2) , 26. lokakuu 2016 - 13:42
Dimensio 4/2016 , 24. lokakuu 2016 - 16:34
Taide taittaa matematiikkaa – Osa 1(2) , 22. lokakuu 2016 - 12:42
Dimensio 3/2016 , 21. lokakuu 2016 - 21:37
Dimensio 2/2016 , 12. lokakuu 2016 - 19:51
Lukion tärkein ainevalinta? , 24. syyskuu 2016 - 9:00
Hattulan silloilta , 8. syyskuu 2016 - 22:58
Naiset ja teknologia tarvitsevat toisiaan , 8. syyskuu 2016 - 22:34
Lukion fysiikan OPS muutosten edessä , 8. syyskuu 2016 - 19:49
Taikatempuista motivaatiota opiskeluun , 25. elokuu 2016 - 20:31
Super-Ada innostaa IT-alalle , 4. helmikuu 2016 - 9:00
Dimensio 1/2016 , 30. tammikuu 2016 - 8:00
Dimensio 6/2015 , 2. joulukuu 2015 - 8:00
Minun MAOL:ini , 23. marraskuu 2015 - 9:00
Dimensio 5/2015 , 15. marraskuu 2015 - 9:00
Ylioppilastutkinto vuonna 203X , 29. elokuu 2015 - 9:00
Dimensio 4/2015 , 28. elokuu 2015 - 8:00
Dimensio 3/2015 , 6. toukokuu 2015 - 9:00
eDimensio palvelunestohyökkäyksen kohteena , 26. huhtikuu 2015 - 14:44