Sata matematiikan ylioppilastehtävää itsenäisyyden sadalta vuodelta

Kirjoittaja: 

Aatos Lahtinen

 

Ilman matematiikkaa ei olisi teollista yhteiskuntaa, ei nykyisenkaltaista hyvinvointia Euroopassa, eikä Suomessa. Tätä ei tiedosteta riittävästi, sillä matematiikan näkymättömyys samaistuu monien mielissä matematiikan poissaoloon. Niinpä matematiikka jää usein kutsumatta sellaisiinkin pitoihin, jossa sen läsnäolon pitäisi olla selviö.

Tällaiset pidot tapasi dosentti Marjatta Näätänen viime keväänä. Suomen satavuotista itsenäisyyttä juhlitaan monin tavoin ja hankkein. Kuitenkaan osoitteesta www.suomifinland100.fi löytyvien Suomen itsenäisyyden satavuotisjuhlavuoden 2017 ohjelmaan hyväksyttyjen hankkeiden joukosta ei löytynyt yhtään matemaattista hanketta.

Tämän puutteen korjaamiseksi Näätänen ideoi matematiikan ylioppilastehtävien esittelyn, joka nimellä 100 matematiikan ylioppilastehtävää itsenäisyyden ajalta hyväksyttiin juhlavuoden ohjelmaan. Kymmenen ylioppilastutkinnosta kiinnostunutta koulu- tai yliopistotaustaista matemaatikkoa ryhtyi hankkeen toteuttajaksi. Työ valmistui aikataulun mukaisesti elokuussa ja valitsemamme tehtävät ratkaisuineen löytyvät Matematiikkalehti Solmun verkkosivuilta https://matematiikkalehtisolmu.fi/100yo.html. Tiedot hankkeessa mukana olleista löytyvät myös sieltä.

Tähän sadan ylioppilastehtävän joukkoon valitsimme yhden tehtävän jokaisen itsenäisyysajan vuoden matematiikan ylioppilaskokeista. Tavoitteenamme oli, että kymmenvuotisjaksoihin ryhmitetyt tehtävät antaisivat aina mielikuvan kyseisen ajan kokeista. On syytä painottaa sanaa mielikuva. Kunakin kymmenvuotisjaksona on kevään ja syksyn ylioppilaskokeissa ollut yhteensä 200 – 300 tehtävää ja niistä valittiin kokoelmaamme vain kymmenen. On selvää, että kaikki tehtävätyypit eivät voineet saada tasapuolisesti edustajaansa kokoelmaan. Lyhyt matematiikka on selvästi aliedustettu kokoelmassa. Kokonaan pois jäivät esimerkiksi klassisen geometrian harpilla ja viivoittimella suoritettavat konstruointitehtävät.

100 matematiikan ylioppilastehtävää itsenäisyyden ajalta antaa kuitenkin suppeanakin kaikille matematiikan opetuksesta ja kehityksestä kiinnostuneille hyvän tilaisuuden tutustua itsenäisyyden vuosien ylioppilastehtäviin. Kunkin tehtävän lopussa on maininta, monesko se on ollut sarjassaan ja millaisille kouluille se oli tarkoitettu. Tehtävien ratkaisut on laadittu lähinnä nykylukijaa ajatellen. Ne voivat, etenkin vanhempien tehtävien kohdalla, poiketa tehtävän syntyajan ratkaisutavoista tai ratkaisumahdollisuuksista.

Vaikka matematiikka on ikuista, ei kokoelman tehtäviä voi luotettavasti arvioida nykypäivän mittapuulla. Jokainen tehtävä on aikansa opetuksen lapsi ja opetus on sadan vuoden aikana muuttunut paljon. Kokoelma avaa siten myös näkymää itsenäisyyden ajan matematiikan opetukseen. Tarkoitukseni on tässä hieman valottaa tehtävien synnyinsijoja sekä, siinä sivussa, tehtäviin mahdollisesti liittyviä vaikutelmia Suomesta.

Itsenäisyyden alkuaika 1917–1947

Kokoelman ensimmäiseksi valittiin vuoden 1917 tehtävä, vaikka Suomi itsenäistyikin vasta ylioppilaskirjoitusten jälkeen. Vuoden 1918 taistelut näkyvät kokoelmassa; sen vuoden ylioppilastutkintoa ei voitu pitää. Niinpä ylioppilastutkintolautakunta julisti keväällä 1918 ylioppilaiksi ne abiturientit, jotka olivat lukioiden rehtoreiden mielestä riittävästi menestyneet opinnoissaan. Itsenäisen Suomen ensimmäisiä ylioppilaita oli kaikkiaan 1 151 eli noin 1,8 prosenttia ikäluokasta.

Kokoelmamme alusta ilmenee, että vuoden 1920 tehtävä oli tarkoitettu klassiselle lyseolle sekä reaalilyseolle ja vuoden 1922 tehtävä oli taas suunnattu klassisen linjan lisäksi myös maanviljelyslyseolle. Autonomian ajalta periytyi itsenäiseen Suomeen kolmenlaisia kouluja. Oli klassisia lyseoita tai linjoja, joissa opiskeltiin latinaa. Nykykielellä ne olisivat lähinnä kielilinjoja. Oli reaalilyseoita, joissa oli klassisia lyseoita enemmän matematiikkaa ja luonnontieteitä. Nykykielellä ne olisivat lähinnä matematiikkalinjoja. Sitten oli vielä muutama maanviljelyslyseo, joissa nimensä mukaisesti pyrittiin painottamaan maanviljelyksessä tarvittavia tietoja. Nämä lyseot katosivat 1920-luvulla.

Vuosien 1917 – 1947 tehtävistä näkyy maisema, jossa mikään ei muutu ja jota vain harvat saivat katsella. Ylioppilastutkinnon suorittaneita oli esimerkiksi vuonna 1935 vain 2509 eli noin 3,5 prosenttia ikäluokasta. Tämän ajanjakson viimeiset tehtävät olisivat yhtä hyvin voineet olla ajanjakson ensimmäisiä ja päinvastoin. Niitä ratkoivat vuoteen 1940 asti kaikki abiturientit, sillä matematiikka oli kaikille pakollinen. Oma erikoisuutensa oli, että kukaan abiturienteista ei ollut lukenut matematiikkaa. Opetussuunnitelmassa ei nimittäin ollut matematiikkaa, vaan kaksi erillistä oppiainetta, geometria ja algebra, joista kummastakin annettiin oma numeronsa. Niinpä tehtäväkokoelmamme tämän ajan tehtävistä noin puolet käsittelee geometriaa ja puolet algebraa.

Tämän ajan geometria oli vielä klassista euklidista geometriaa. Yleisesti käytetty kirja oli vuonna 1901 ilmestynyt Neovius-Nevanlinnan alkeisgeometrian oppikirja. Opetuksen muuttumattomuutta osoittaa sekin, että vielä 1950-luvulla minun koulussani opetettiin geometriaa saman oppikirjan kahdeksannestatoista, muuttamattomasta painoksesta.

Koska geometrian opetussuunnitelma oli merkittävästi nykyistä laajempi, ei ole ihme, että tämän ajan geometrian tehtävät vaativat usein tietoja, joita lukiolaisilla ei ole enää vuosikymmeniin ollut. Erityisen runsaasti esiintyi nykyään lähes kokonaan kadonneita todistustehtäviä, kuten vaikkapa vuoden 1938 tehtävä, jossa tarkastellaan ympyrän sisällä olevan kolmion normaalien kantapisteitä. Siihen aikaan lautakunta ei myöskään kavahtanut työläitä tehtäviä.

Numeerista laskemista vaativat tehtävät olivat silloin paljon nykyistä vaikeampia siitä yksinkertaisesta syytä, että laskimia ei vielä ollut. Ainoana apuna olivat logaritmitaulut, joihin oli taulukoitu lukujen ja trigonometristen funktioiden logaritmeja. Niitä oli käytettävä laskettaessa mittavia kerto- tai jakolaskuja sekä potenssien, juurten ja trigonometristen funktioiden arvoja. Tauluista saatiin vain neljä tai viisi ensimmäistä merkitsevää numeroa, mutta ei luvun suuruusluokkaa. Se oli pääteltävä itse. Toinen apukeino oli laskutikku, jolla sai nopeasti muutaman numeron tarkkuudella kerto- ja jakolaskujen tulokset sekä sinin ja tangentin arvot, kunhan osasi määrittää tuloksen suuruusluokan. Laskuprosessit olivat työläitä ja tarkkuutta vaativia. Esimerkiksi vuoden 1929 kolmion sivujen pituuksien määritystehtävä saattoi silloin nostattaa otsalle muutaman hikipisaran.

Algebraksi kutsuttiin sitä koulumatematiikan osaa, joka ei ollut geometriaa. Algebraan kuuluvissa ylioppilastehtävissä tutkittiin mm. analyyttista geometriaa (vuosi 1933), ensi asteen yhtälöryhmiä (vuosi 1920), toisen asteen yhtälön juurien ominaisuuksia (vuosi 1919), logaritmeja (vuosi 1937), prosenttilaskuja (vuosi 1935), aritmeettisia ja geometrisia jonoja ja sarjoja (vuodet 1934 ja 1946). Mukana oli myös jonkin verran fysiikan tuntemusta edellyttäviä tehtäviä (vuosi 1925). Tehtävät olivat aika rutiininomaisia, enimmäkseen myös nykylukiolaisille.

Differentiaali- ja integraalilaskennasta ei tämän ajan oppikirjoissa ollut vielä riviäkään. Eräitä ääriarvotehtäviä osattiin kyllä ratkaista. Esimerkiksi vuonna 1927 ilmestyneessä Aaro Markkasen Lukioluokkain algebran oppikirjassa annettiin seuraava, esimerkeillä perusteltu ratkaisumenetelmä:

”Toisen asteen funktio tehdään y:n suuruiseksi ja saatu yhtälö ratkaistaan x:n suhteen. Neliöjuuren alle saatu diskriminantti asetetaan nollan suuruiseksi ja yhtälö ratkaistaan y:n suhteen. Jos diskriminantti on y:n suhteen ensimmäistä astetta, on saatu y:n arvo maksimi, jos y:n kerroin on negatiivinen, ja minimi, jos se on positiivinen. Jos diskriminantti on y:n suhteen toista astetta, on funktiolla maksimi ja minimi ainoastaan silloin, kun diskriminanttiyhtälön juuret ovat erisuuria reaalilukuja. Jos tällaisessa tapauksessa y:n toisen potenssin kerroin on negatiivinen, on algebrallisesti suurempi juuri maksimi ja pienempi minimi, mutta päinvastoin, jos y:n toisen potenssin kerroin on positiivinen.”

Kokoelmaamme valittu vuoden 1932 tehtävä r-säteisen pallosektorin kokonaispinta-alan maksimista oli tarkoitettu ratkaistavaksi juuri tämänkaltaisen menetelmän avulla. Tällöin ratkaisu on lyhyt ja helppo. Kokoelmaan otettu, derivaattaa käyttävä ratkaisu on paljon työläämpi.

Kokoelmastamme puuttuvat vuosien 1940 ja 1942 ylioppilastehtävät, sillä silloin ei voitu sodan vuoksi järjestää ylioppilaskirjoituksia. Ylioppilastutkintolautakunta julisti lukiotodistusten perusteella ylioppilaiksi 2692 abiturienttia vuonna 1940 ja 3 136 abiturienttia vuonna 1942. Sota-ajasta näkyy pieni häivähdys kokoelmamme vuoden 1943 tehtävässä, jossa sekoitetaan kahviin korviketta.

Kehityksen aika 1948 - 2017

Sotien jälkeen alkoi lukiomatematiikka monen muun asian tavoin muuttua. Vuonna 1947 poistettiin ylioppilastutkinnosta matematiikan pakollisuus asettamalla se vaihtoehtoiseksi reaalikokeen kanssa. Periaatteessa tämä merkitsi kaikkein heikoimman aineksen poisjääntiä matematiikan kokeesta, mutta sitä ei huomaa tehtävistä. Tämä kahden kokeen vastakkainasettelu jatkui aina vuoteen 1996, jolloin se korvattiin nykyisellä laajemmalla valinnaisuudella. Toinen tehtävissä vaikeasti näkyvä asia on uusien oppikoulujen mukanaan tuoma ylioppilaiden määrän kasvu ja samalla matematiikan kirjoittajien lisääntyminen. Ylioppilaita oli vuonna 1963 jo yli 10.000, vuonna 1972 yli 20.000 ja vuonna 1982 yli 30.000. Samalla ylioppilaiden osuus ikäluokasta nousi vähitellen yli 50 prosenttiin.

 

Näyttävätkö sitten tämän ajan tehtävät mitään Suomesta? Ei paljoa. Rahan arvon jatkuva huononeminen paljastuu vuoden 1959 indeksitilitehtävästä, lentomatkailun yleistyminen vuoden 1987 tehtävästä ja huoli elintasosta vuoden 2001 tehtävästä.

Opetuksen kehittymisestä antaa kokoelmamme enemmän tietoa. Vuoden 1947 jälkeiset tehtävät osoittavat, että itsenäisyyden alkuvuosien pysyvyyden jälkeen koulumatematiikka alkoi muuttua. Vuosien 1963 ja 1964 tehtävät todistavat, että derivaatta ja integraali otettiin vihdoin oppiennätyksiin. Vuoden 1974 tehtävä puolestaan paljastaa, että lukion oppimäärä alkoi tunnustaa todennäköisyyslaskennan olemassaolon. Tässä on huomautettava, että asian ensiesiintyminen kokoelmassamme ei kerro sitä, kuinka paljon aikaisemmin asia on tullut oppiennätyksiin tai ylioppilastutkintoon.

Valikoimamme ei myöskään paljasta, että abiturientin elämä helpottui suuresti 1970-luvun loppupuolella. Laskimet siirsivät logaritmitaulut ja laskutikut historiaan ja taulukkokokoelmat tekivät kaavojen ulkoa oppimisen tarpeettomaksi. Ylioppilastutkintolautakunta tosin käytti tilaisuutta hyväkseen ja alkoi sijoittaa kokeisiin entistä vaikeampaa laskemista vaativia tehtäviä, kuten vaikkapa vuoden 1990 todennäköisyystehtävän.

Uuden aineksen vyörytys matematiikkaan jatkui. Kouluhallitus lisäsi oppimääriin myös kompleksiluvut, differentiaaliyhtälöt ja vektorit, kuten vuosien 1967, 1975 ja 1979 tehtävät todistavat. Myös lukuteoria kiilasi mukaan niin kunnianhimoisesti, että sen tehtävä vuodelta 2004 nojautuu jopa Fermat´n pieneen lauseeseen. Kun näin paljon lisättiin uutta, oli vanhaa jätettävä vastaavasti pois. Niinpä klassisen geometrian osuutta vähennettiin drastisesti, mikä taas vähensi täsmällistä todistamista koulukursseista yhtä drastisesti. Toisaalta lautakunta alkoi lisätä matemaattisen ymmärryksen testaamista. Esimerkiksi vuoden 1996 tehtävässä on kokelaan muodostettava epäjatkuva funktio, joka täyttää annetut ehdot.

Tehtäväkokoelmastamme näkyy vain välillisesti, että jotkut uudistukset olivat liian kunnianhimoisia. Kompleksiluvut ja differentiaaliyhtälöt jätettiin melko pian pois opetussuunnitelmista. Ne jäivätkin liian irrallisiksi asioiksi ja ennen kaikkea differentiaaliyhtälöiden opiskelu oli vain tiettyjen asioiden mekaanista ulkoa oppimista. Mihinkään syvempään ymmärtämiseen ei edes pyritty.

Uudistusten voimaantullessa ylioppilastutkintoon osallistui muutaman vuoden ajan sekä vanhan että uuden opetussuunnitelman mukaan opiskelleita. Tasapuolisuuden vuoksi ylioppilastutkintolautakunta sijoitti ylimenokauden ajaksi joihinkin tehtäviin sekä vanhan että uuden kurssin mukaisen vaihtoehdon vapaasti valittavaksi, kuten vuoden 1983 tehtävästä näkyy.

Vuoden 1990 tehtävästä näkyy, että lautakunta jatkoi vaihtoehtojen sijoittamista tehtäviin vielä edellä mainittujen uudistusten ylimenokauden päätyttyäkin. Tämä tapa loppui vasta vuonna 2000. Silloin muutettiin matematiikan kokeen rakennetta niin, että siinä oli viisitoista tehtävää, joista sai vapaasti valita enintään kymmenen. Niinpä kokoelmamme vuoden 2000 tehtävässä mainitaan sen olleen kevään pitkän matematiikan kokeen 11. tehtävä.

Tämän lisääntyneen valinnanvapauden oletettiin hyödyttävän eniten heikkoja oppilaita. Näin ei kuitenkaan käynyt, vaan suurimman hyödyn korjasivat laudaturin tavoittelijat. Heidän erottelunsa parantamiseksi pitkässä matematiikassa lautakunta alkoi sijoittaa sen kokeen loppuun kaksi tavallista vaativampaa ns. tähtitehtävää. Kokoelmamme vuoden 2011 tehtävä on tällainen tähtitehtävä. Sellaisen ratkaisemisesta sai yhdeksän pistettä tavallisen kuuden sijaan. Yllättäen suuri osa tähtitehtävien valitsijoista oli sellaisia, joiden pistemäärä jäi muissakin tehtävissä vähäiseksi.

Ylioppilastutkinto ei voi pysyä paikoillaan maailman muuttuessa. Sen on jatkuvasti pyrittävä yhä parempaan arviointiin. Kokoelmamme ei näytä, että matematiikan koe uudistui keväällä 2016 kaksiosaiseksi. Ensimmäisen osan tehtävät on ratkaistava ilman laskinta. Toisen osan tehtävissä laskinta saa käyttää. Samalla kokeesta vähennettiin valinnaisuutta. Uudistuksen tavoitteena on parantaa matemaattisen ajattelukyvyn mittaamista eli parantaa opetuksen tavoitteiden saavuttamisen arviointia. Arvioinnin parantuminen parantaa puolestaan yliopistojen opiskelijavalintoja.

Yhteenveto

100 matematiikan ylioppilastehtävää itsenäisyyden ajalta tuo yhden matemaattisen näkökulman viralliseen Suomen itsenäisyyden satavuotisjuhlavuoden 2017 ohjelmaan. Se kertoo tositarinaa matematiikan ylioppilastehtävistä viimeisen sadan vuoden ajalta. Kokoelma on ehdottomasti tutustumisen arvoinen jo yksin tästä syystä. Tarinassa on vielä muutakin kiinnostavaa. Siihen sisältyy kertomus tehtävien kehittymisestä itsenäisyyden aikana. Lisäksi tarinan sisältä voi tavoittaa eri aikoina matematiikan kouluopetuksessa korostettuja asioita. Tarinan ympärillä on vielä toinen, suurempi tarina siitä, kuinka ylioppilastutkinto muuttui harvojen ja valittujen etuoikeudesta yleiseksi kypsyyskokeeksi.

 

Matematiikkalehti Solmun Suomi 100 -projekti

Matematiikan opetuksen sisällöt ja osaamistaso ovat muuttuneet Suomen itsenäisyyden 100 vuoden aikana. Tästä kehityksestä saa käsitystä Suomi100 -projektistamme, jossa Matematiikkalehti Solmuun on kerätty 100 matematiikan ylioppilastehtävää Suomen 100 -vuotisen itsenäisyyden ajalta tyyliin tehtävä/vuosi.

Myös ratkaisut annetaan. Tehtävät keräsi kymmenen matematiikkaa eri tasoilla opettanutta henkilöä Helsingistä, Jyväskylästä ja Oulusta.

http://suomifinland100.fi/project/100-matematiikan-ylioppilastehtavaa-it...

Marjatta Näätänen
dos.
Helsingin yliopisto

 

Lisää eDimensiossa

Vuoden 2017 opettaja: Vesi, wasser, eau, voda , 19. marraskuu 2017 - 9:57
Dimensio 6/2017 , 19. marraskuu 2017 - 9:01
Opettaja artikkelin kirjoittajana , 16. marraskuu 2017 - 9:36
Dimensio 5/2017 , 29. lokakuu 2017 - 9:16
Mihin matematiikkaa tarvitaan , 16. elokuu 2017 - 9:00
Laskukone vauvan aivoissa , 16. elokuu 2017 - 9:00
Dimensio 4/2017 , 16. elokuu 2017 - 1:00
Dimensio 3/2017 , 23. huhtikuu 2017 - 9:00
Eurajoen vesitornin Foucault’n heiluri , 22. huhtikuu 2017 - 9:00
Historiaa, fysiikkaa ja fysiikan historiaa , 2. huhtikuu 2017 - 9:00
Dimensio 2/2017 , 31. maaliskuu 2017 - 9:00
Erään matematiikan vihaajan tunnustuksia , 2. helmikuu 2017 - 9:00
Dimensio 1/2017 , 26. tammikuu 2017 - 9:00
GeoGebra-täydennyskoulutuksia verkossa , 6. joulukuu 2016 - 9:00
Dimensio 6/2016 , 6. joulukuu 2016 - 9:00
Taide taittaa matematiikkaa – Osa 2(2) , 26. lokakuu 2016 - 9:00
Lukion tärkein ainevalinta? , 26. lokakuu 2016 - 9:00
Dimensio 5/2016 , 26. lokakuu 2016 - 9:00
GeoGebra tänään , 26. lokakuu 2016 - 9:00
MAOLin syyskoulutuspäivät Oulussa , 26. lokakuu 2016 - 9:00
Dimensio 4/2016 , 24. lokakuu 2016 - 9:00
Taide taittaa matematiikkaa – Osa 1(2) , 22. lokakuu 2016 - 9:00
Dimensio 3/2016 , 21. lokakuu 2016 - 9:00
Dimensio 2/2016 , 12. lokakuu 2016 - 9:00
Lukion tärkein ainevalinta? , 24. syyskuu 2016 - 9:00
Hattulan silloilta , 8. syyskuu 2016 - 9:00