Matematiikan ylioppilaskokeiden tehtävät ja yliopistojen sisäänotto

Kirjoittaja: 

Olli Martio, pääsihteeri, Suomalainen Tiedeakatemia

Ylioppilaskokeen tärkein merkitys on kokeen tulosten käyttö yliopistojen ja ammattikorkeakoulujen sisäänotossa. Matematiikan pitkällä ja myös lyhyellä kokeella on varsin suuri painoarvo sisäänotossa. Tarkastelen seuraavassa koetehtävien ja sisäänoton suhdetta aikavälillä 1977 – 2010.

Toimin ylioppilastutkintolautakunnassa otsikon ilmoittamana aikana ensiksi tehtävien korjaajana ja sitten niiden laatijana pitkälti yli toistakymmentä vuotta. Tällä aikavälillä Ylioppilas­tutkintolautakunnan puheenjohtajina toimivat professorit L. Myrberg, T. Aartolahti, A. Lahtinen ja J. Lokki. Kaikki olivat asiantuntevia henkilöitä, jotka kantoivat huolta ylioppilastutkinnon kehittämisestä. Toimin parin matematiikan laitoksen johtajana ja jouduin perehtymään luonnontieteellisten alojen sisäänottoon ja olin myös kiinnostunut teknillisten alojen ja ammattikorkeakoulujen sisäänotosta. Kaikki muutokset yllä mainittuna ajanjaksona ylioppilaskokeiden matematiikan tehtävissä eivät johtuneet oppisisältöjen muuttumisesta. Tärkeänä piilovaikuttajana on ollut ylioppilaskokeen käyttö sisäänotossa.

Tehtävien laatimisen haasteet

Keskeinen, lähinnä kuitenkin tekninen, asia sisäänoton kannalta on saada tehtävät toimimaan tarkoitetulla tavalla, eli

1. kokelaat pyritään asettamaan jonoon osaamistasonsa (= koesuoritus) mukaisesti,

2. arvosanoja jaetaan sopivassa suhteessa,

3. eri aikana suoritettujen kokeiden arvosanat ovat vertailukelpoisia.

Jos tyydytään siihen oletukseen, että yksittäinen koe (jonka saa uusia) antaa riittävän tiedon osaamistasosta, niin kokeen korjaajat ratkaisevat ensimmäisen ongelman. Kokemukseni mukaan varsin korkealuokkaisesti. Kohta 2 näyttää triviaalilta, kun ensimmäinen on ratkaistu ja jakoperiaatteista sovittu. Ylioppilastutkintolautakunnan käytäntönä oli, että parhaalle 5 prosentille annettiin laudatur, seuraavalle 14 prosentille eximia ja niin edelleen. Matematiikan ylioppilaskokeessa käy kuitenkin helposti niin, että vähintään 56 pistettä (60 pistettä oli aikaisemmin maksimipistemäärä kummassakin matematiikan kokeessa) oli 7 % ja vähintään 57 pistettä vain 3 %. Sama ilmiö sisältyy muihinkin arvosanoihin, mutta korostuu arvosana-asteikon ylä- ja alapäässä. Varsinkin lyhyen matematiikan kokeessa improbatur-arvosanan pistemäärät vaihtelivat suuresti ja olivat usein huomattavasti yli 5 % kokeeseen osallistuneiden lukumäärästä.

Koska arvosanoja käytetään sisäänoton pisteytyksessä, niiden aiheuttama erottelu on tärkeää. Jostain syystä käytetään niin sanottua Gaussin käyrää, mikä ei erottele hyvin. Tasajako erottelee paremmin, ts. jaetaan osallistujat 7 yhtä suureen joukkoon pisteytyksen perusteella. Arvosanoja on 7 kappaletta. Parhaille, siis noin 14 % osallistuneista, annetaan laudatur ja huonoimmat, myös 14 %, hylätään. Tietysti improbaturin prosenttilukua voidaan pitää pienempänä kuin muita prosenttimääriä, mikä nostaa muitten arvosanojen prosentteja. Arvosanojen jakaumaa ei selvästikään ole suunniteltu sisäänottoa varten.

Yliopistojen sisäänotto

Yliopistojen sisäänotossa on aina aloja, joihin on erittäin paljon pyrkijöitä ja joihin parhaat opiskelijat hakeutuvat. Alat muuttuvat ajan mukana, vaikka lääketiede on sitkeästi pysynyt eturivissä. Tietokoneiden käytön alkuaikoina tietojenkäsittelytieteen laitoksille otettiin opiskelijoita, joilla oli ylioppilastutkinnon kriteereinä käytettävissä kokeissa maksimipisteet ja erottelu suoritettiin lukion todistuksen keskiarvon perusteella. Ero 9,6 ja 9,5 välillä ratkaisi opiskelupaikan. Nykyisin tilanne on kyseisellä alalla aivan toinen. Useimmilla aloilla ylioppilastutkinnon antamat arvosanat riittävät ja näitä voi täydentää sopivilla kouluarvosanoilla. Tietysti on aloja, joihin ylioppilastutkinnon antamat kriteerit eivät sovellu, tyyppiesimerkkinä Teatterikorkeakoulun tarjoamat alat. Itse en usko karsintakurssien tarjoamaan lisäarvoon aloilla, joissa ylioppilastutkinnon tarjoamat kriteerit ovat käyttökelpoisia. Yliopistojen sisäänotossa on tältä osin parantamisen varaa.

Arvosanoista

Tilannetta pitkän matematiikan osalta parantaisi laudatur ja eximia arvosanojen välissä oleva arvosana. Varsinaisia paineita ei tähän ole ollut paitsi aivan harvoilla aloilla. Nykyjärjestelmässä vaikuttaa matematiikan arvosanojen jakautumiseen kokelaiden menestyminen muissa kokeissa ja vaikutus on ennalta arvaamaton, mikä selvästi hankaloittaa sisäänoton suunnittelua. Lisäksi nykyjärjestelmässä kärsii eri vuosien vertailtavuus, koska ei voida etukäteen tietää, mihin prosenttiväliin matematiikan kokeessa esimerkiksi eximian saaneet kuuluvat. Matematiikan kokeisiin osallistuvien määrät sen sijaan ovat stabiileja ja hyvin ennakoitavissa.

Paineet hyviin arvosanoihin kohdistuvat erityisesti pitkään matematiikkaan, jossa laudatur on monesti ollut kiinni yhden tai kahden pisteen marginaalista. Marginaalin laajentamiseksi otettiin käyttöön kaksi tehtävää, niin sanotut tähtitehtävät, joista kummastakin voi saada 9 pistettä, kun tavallisesta tehtävästä saa korkeintaan 6 pistettä. Ajatuksena tietysti oli, että hyvät osaajat valitsisivat ainakin toisen näistä, jolloin yläpään pisteet levittäytyisivät laajemmalle välille kuin ilman näitä tehtäviä. Tähtitehtävät ovat yleensä moniosaisia ja osien pistemäärät ovat annettuina. Toimivuuden kannalta tähtitehtävien sopivuus on tärkeää. Yksi tai kaksi sopimatonta tehtävää ylioppilaskokeessa ei ole katastrofi, sillä valinnanvapaus 15 tehtävän joukosta on suuri. Lisäksi sellaisten tehtävien valinta, joita kokeeseen osallistuja osaa käsitellä, osoittaa kypsyyttä. Sama ei välttämättä päde tähtitehtäviin, joissa epäonnistuminen tehtävän alkupäässä on laudaturin kannalta kohtalokasta. Tätä on paikattu helpottamalla tähtitehtävien alkuosioita.

Ylioppilaiden osaamisen taso

Kevään ja syksyn ylioppilaskokeisiin osallistuvien erilainen profiili on tuottanut myös vaikeuksia. Tyypillisiä syksyn kokeisiin osallistuvia pitkässä matematiikassa ovat arvosanojaan parantavat. Joukossa on hyviä osaajia, joilta laudatur jäi saamatta. Se olettamus, että syksyn kokeeseen osallistuvat ovat heikompia osaajia kuin kevään kokeeseen, voi olla keskimäärin oikea, mutta parhaan 5 % osalta pahasti väärä. Noin 30 vuotta sitten oli tapana antaa kevään kokeessa prosentuaalisesti selvästi enemmän hyviä arvosanoja kuin syksyn kokeessa, mutta tilanne on muuttunut.

Yliopistojen matematiikan laitokset ja yleisemmin luonnontieteelliset ja teknillisten yliopistojen laitokset ovat olleet tyytyväisiä opiskelijoiden saamaan koulutukseen lukioissa. Tämä koskee erityisesti parasta 20 – 30 % sisään otetuista opiskelijoista. Sen sijaan ammattikorkeakouluista tuli hälyttäviä tietoja osaamistason heikkenemisestä 1980-luvulta lähtien ja sama koski yliopistojen koulutussuuntia, joissa matematiikkaa käytetään apuvälineenä. Myös taloustieteiden ja humanististen tieteiden puolelta tuli valituksia perusosaamisen tasosta. Testit osoittavat puutteita lausekkeiden käsittelyssä ja jopa murtoluvuilla laskemisessa. Monet oleelliset käsitteet olivat jääneet epäselviksi ja puutteet koskevat sekä pitkän että lyhyen matematiikan lukijoita.

Mitä matematiikan ylioppilastehtävien on tarkoitus testata

Yliopistojen ja ammattikorkeakoulujen näkemykset niistä taidoista, joita matematiikan ylioppilastehtävissä pitää testata, kulminoituvat seuraaviin seikkoihin.

1. Peruskäsitteiden ymmärtäminen ja soveltaminen pitkässä matematiikassa.

2. Peruskoulutasoisten laskutaitojen korostaminen lyhyessä matematiikassa.

3. Laskimien rooli.

Kohdan 2 parantamiseksi lyhyen matematiikan alkupään tehtäviä alettiin muuttaa moniosaisiksi vain peruskoulun tietoja vaativiksi. Samanlainen ilmiö tapahtui myös pitkän matematiikan puolella, mutta ei niin näkyvästi. Vaikka tehtävien tulee perustua lukion oppimääriin, ei muutos ollut ristiriidassa tämän periaatteen kanssa, sillä samoja taitoja käytetään sekä peruskoulussa että lukiossa. Jos peruskoulun matematiikan osaaminen on unohtunut, jää lukion oppimäärä yleensä täysin epäselväksi. Joissakin lyhyen matematiikan ylioppilaskokeissa peruskoulun matematiikan osaaminen on riittänyt arvosanaan cum laude.

Lyhyen matematiikan ylioppilaskokeeseen liittyy vielä koko yllä mainittua ajanjaksoa koskeva piirre. Osallistujista yli 5 % oli sellaisia, että heidän osaamistasonsa ei riittänyt edes yhden tehtävän suorittamiseen. Yllä mainittu uudistus ei heti auttanut, mutta tilanne alkoi kuitenkin parantua. Syynä luultavasti oli, että kokeneet opettajat tiedostivat, mitä heikoimmilta opiskelijoilta odotetaan.

Peruskäsitteiden ymmärtämiseen kuuluu niiden käyttö matemaattisessa päättelyssä, jota myös kutsutaan todistamiseksi. Päättely on jäänyt lapsipuolen asemaan matematiikan kouluopetuksessa. Probleeman ratkaisulla ymmärretään nykyisin kouluopetuksessa jotain muuta. Geometrian todistukset ovat käytännössä kadonneet ja korvautuneet laskutehtävillä. Tuloksena on, että lukiolaiset eivät tiedä, mitä todistaminen eli päättely tarkoittaa. Pitkässä matematiikassa lukuteoria tarjoaa mahdollisuuksia pieniin todistuksiin, mutta todistuksen tekeminen osoittautui monille liian vaikeaksi. Kun halutaan osoittaa jokin parillisia lukuja koskeva ominaisuus, niin parillisen luvun kirjoittaminen muotoon 2n on useimmille jo liian korkea aloituskynnys. Vastaavasti lyhyen matematiikan prosenttilaskut ovat päättelytehtäviä. Prosenttilaskujen suoritus lyhyen matematiikan kokeessa sisältää yleensä vaatimattomasti perusteluja; lukuja on kerrottu ja jaettu. Oikeasta vastauksesta saa yleensä 6 pistettä. Paljon ylioppilastehtäviä korjanneena muistan useita lyhyen matematiikan laudatur suorituksia, joissa ei ole kuin pari suomenkielistä sanaa. Ylioppilaskirjoituksissa ei voi vaatia asioita, joita koulussa ei opeteta.

Yllä mainitusta huolimatta yksinkertaisia perus­asioita koskevia kysymyksiä yritetään toisinaan ujuttaa ylioppilastehtäviin. Esimerkkinä lyhyen matematiikan syksyn ylioppilaskokeen kysymyksestä on seuraava: Miksi kolmion kulmain summa on 180 astetta? Tiesin etukäteen, että kysymys oli epäonnistunut, mutta tulos oli vielä huonompi. Käytännössä kukaan ei pystynyt antamaan minkäänlaista selitystä. Olisi ollut mielenkiintoista tietää, mitä perusteluja pitkän matematiikan kirjoittajat olisivat keksineet. Geometrikot tietävät, että tuloksen kanssa on yhtäpitävää, että suora leikkaa yhdensuuntaiset suorat yhtä suurissa vastinkulmissa. Jälkimmäinen asia on kuitenkin ilmeisempi kuin se, että jokaisen kolmion kulmien summa on oikokulma. P. Harjulehdon kirjoituksessa [P. Harjulehto, Paralleelipostulaatti, Solmu 3/2008, 10-12] analysoidaan asiaa tarkemmin. Sivistykseen ei mielestäni riitä, että kun saksii kolmion kulmat, niin kulmat yhteen laitettuna tuloksena näyttää muodostuvan oikokulma. Saksimista nopeammin piirtää kärjen kautta kolmion kannan suuntaisen suoran ja perustelee tällä asian. Jotkut asiat matematiikassakin kuuluvat yleissivistykseen.

Laskimien käyttö matematiikan kouluopetuksessa ja ylioppilaskirjoituksissa on ollut jatkuva puheenaihe ja myös melkoinen riesa opettajille ja kouluille. Laskimien pitkälle viedyistä ominaisuuksista on ollut varsin vähän hyötyä ylioppilastehtävien ratkaisuissa. Käyttö on ollut pitkälti samaa kuin laskutikun ja logaritmitaulun eli lähinnä funktioiden likiarvojen hakemista ja yksinkertaisten laskujen suorittamista.

Laskimien merkitys matematiikan oppimisessa on kyseenalaista eikä niitä juuri käytetä lukion jälkeisessä elämässä. Symbolisen matematiikan laskuihin pystyvät laskimet toivat uutta problematiikkaa sekä opettajille ja tehtävien laatijoille. Kehitys oli selvästi nähtävissä ja lopulta kaikki laskimet oli syytä sallia. Myös suunnitelma ylioppilaskokeen jakamiseksi kahteen osaan on vanha. Ensimmäisessä kokeessa laskimet eivät olisi sallittuja. Niin kauan kuin symbolista laskentaa laskimilla ei sallittu, varsinaista syytä kokeen jakamiseen ei ollut. Laskimilla tapahtuvan symbolisen laskemisen vikana on, että laskin ei perustele tulosta. Itse asiassa kysymys on samasta asiasta kuin, miksi laskin ei perustele, että 2 +  2 =  4.

Eniten valituksia laskimiin liiaksi perustuvasta opetuksesta on tullut ammattikorkeakoulujen ja mm. sairaanhoitoalojen koulutuksen puolelta, missä laskimien käytön ansiosta on kadonnut käsitys lukujen suuruussuhteista, laskutoimitusten merkityksistä ja kaavojen käsittelystä. Koska nykyään useat laskutoiminnot ovat tietokoneellistettuja, on tärkeätä ylläpitää ymmärrys prosenttien ja laskutoimitusten merkityksestä tulokseen niin, että pelkät virhenäppäilyt eivät aiheuta katastrofeja. Päässälaskutaito on myös rapistunut. Yliopistojen matematiikan ja fysiikan laitokset ja monet tekniset alat eivät perinteisesti ole olleet kiinnostuneita matematiikan ylioppilaskokeessa alle cum laude tason suorittajista. Muiden alojen ja yleisen koulutuspolitiikan kannalta nämä opiskelijat ovat kuitenkin tärkeitä. Asiaan ei ole vieläkään kiinnitetty riittävästi huomiota.

[Dimensio 3/2015. s.14-16]

Tags: 

Lisää eDimensiossa

Vuoden 2017 opettaja: Vesi, wasser, eau, voda , 19. marraskuu 2017 - 9:57
Dimensio 6/2017 , 19. marraskuu 2017 - 9:01
Opettaja artikkelin kirjoittajana , 16. marraskuu 2017 - 9:36
Dimensio 5/2017 , 29. lokakuu 2017 - 9:16
Mihin matematiikkaa tarvitaan , 16. elokuu 2017 - 9:00
Laskukone vauvan aivoissa , 16. elokuu 2017 - 9:00
Dimensio 4/2017 , 16. elokuu 2017 - 1:00
Dimensio 3/2017 , 23. huhtikuu 2017 - 9:00
Eurajoen vesitornin Foucault’n heiluri , 22. huhtikuu 2017 - 9:00
Historiaa, fysiikkaa ja fysiikan historiaa , 2. huhtikuu 2017 - 9:00
Dimensio 2/2017 , 31. maaliskuu 2017 - 9:00
Erään matematiikan vihaajan tunnustuksia , 2. helmikuu 2017 - 9:00
Dimensio 1/2017 , 26. tammikuu 2017 - 9:00
GeoGebra-täydennyskoulutuksia verkossa , 6. joulukuu 2016 - 9:00
Dimensio 6/2016 , 6. joulukuu 2016 - 9:00
Taide taittaa matematiikkaa – Osa 2(2) , 26. lokakuu 2016 - 9:00
Lukion tärkein ainevalinta? , 26. lokakuu 2016 - 9:00
Dimensio 5/2016 , 26. lokakuu 2016 - 9:00
GeoGebra tänään , 26. lokakuu 2016 - 9:00
MAOLin syyskoulutuspäivät Oulussa , 26. lokakuu 2016 - 9:00
Dimensio 4/2016 , 24. lokakuu 2016 - 9:00
Taide taittaa matematiikkaa – Osa 1(2) , 22. lokakuu 2016 - 9:00
Dimensio 3/2016 , 21. lokakuu 2016 - 9:00
Dimensio 2/2016 , 12. lokakuu 2016 - 9:00
Lukion tärkein ainevalinta? , 24. syyskuu 2016 - 9:00
Hattulan silloilta , 8. syyskuu 2016 - 9:00