Laskennallisen tieteen sisältöjä opetukseen

Kirjoittaja: 

Sanna Mönkölä, FT, Tietotekniikan laitos, Jyväskylän yliopisto, sanna.monkola@jyu.fi
Nesteen virtausta voidaan mallintaa matemaattisesti osittaisdifferentiaaliyhtälöiden avulla.Tietokoneiden laskentatehon kasvaessa on alettu yhä enenevässä määrin soveltaa laskennallista näkökulmaa erityisesti tekniikan ja luonnontieteiden tutkimuksessa. Peruskouluissa ja lukioissa opetus nojautuu kuitenkin edelleen pääasiassa perinteisempiin tieteen tukipilareihin, teoreettiseen ja kokeelliseen tarkasteluun. Luonnontieteissä mittausten avulla on voitu tuottaa kokeellisesti numerotietoa, jonka sopivuutta teorioihin on voitu testata. Teoreettista lähestymistapaa hyödyntämällä on puolestaan voitu muodostaa malleja, tuottaa yhtälöitä ja tehdä tarkkoja laskelmia. Laskennallisen näkökulman lisääminen opetukseen toisi mukanaan ongelmanratkaisumalleja, jotka ovat tärkeitä työkaluja tulevaisuudessa tieteen ja teknologian parissa työskenteleville. Samalla olisi mahdollista sisällyttää tietokoneiden ja laskennallisen näkökulman hyödyntämistä luontevalla tavalla muihinkin oppiaineisiin kuin tietotekniikkaan.  
 

Laskennallinen lähestymistapa

Laskennallinen tiede muodostaa kolmannen lähestymistavan teoreettisen ja kokeellisen tutkimuksen rinnalle. Se perustuu tietokoneiden tarjoaman laskentatehon hyödyntämiseen eri sovellusalueilla esiintyvien käytännön ongelmien ratkaisemiseen. Tärkeitä laskennallisten tieteiden osa-alueita ovat matemaattinen mallinnus, numeeriset menetelmät ja ohjelmistotekniikka. Esimerkiksi fysiikan tai kemian ilmiö voidaan kuvata matemaattisella mallilla, jota voidaan simuloida laskennallisesti tietokoneella, numeerisia menetelmiä hyödyntäen. Laskennallinen lähestymistapa onkin koulumaailmassa luontevimmin liitettävissä matemaattis-luonnontieteellisiin aineisiin, mutta se sopii periaatteessa kaikkiin muihinkin oppiaineisiin [21].

Keittiösuunnitteluohjelma on tietokonegrafiikan sovellusohjelma, jossa kuvanmuodostus perustuu vektorilaskentaan.Vaikka tietokoneet ovatkin merkittävässä roolissa laskennallisten tieteiden tutkimuksessa, on laskennallisen näkökulman esiin tuominen opetuksessa mahdollista ilman tietokonettakin. Itse asiassa laskennallisten tieteiden kehityskin on alkanut syy-seuraussuhteiden päättelystä, tarkasteltavien ilmiöiden mallintamisesta ja mallien matemaattisesta analyysistä ennen kuin nykyaikaisia tietokoneita on ollut olemassa. Jo tuolloin oli tiedossa, että suljetussa muodossa esitetyt ratkaisut, joita voidaan laskea symbolisesti kynällä ja paperilla, on mahdollista muodostaa vain muutamille reaalimaailman ongelmien yksinkertaistuksille. Tämä loi tarpeen numeeristen ratkaisumenetelmien kehittämiselle.

Mallit

Lentokoneteollisuus on yksi maailman suurimmista tietokonesimuloinnin hyödyntäjistä.Matemaattisia ja/tai tilastollisia malleja voidaan laatia eri elämänalueita käsittelevistä asioista. Esimerkiksi HIV-infektion kehittymistä voidaan mallintaa matemaattisesti [20]. Fysiikan lakeihin tai kokeelliseen dataan perustuen voidaan muodostaa malli mm. voileivän putoamiselle [1, 4, 15]. Vaalien ääntenlaskennan aikana esitetään ennusteita lopullisesta vaalituloksesta heti ennakkoäänten laskemisen jälkeen. Tämä on mahdollista aiemman äänestyskäyttäytymisen perusteella muodostetun mallin avulla. Pelkkä mallin muodostaminen ei vielä riitä, sillä ennuste pitää tehdä nopeasti. Käsin laskemalla ennusteen valmistumiseen menisi niin kauan aikaa, että lopullinen vaalitulos saattaisi olla selvillä ennen ennustetta. Ennuste saadaan tehtyä riittävän nopeasti, kun mallin mukaan toimivalle tietokoneohjelmalle syötetään tietoa tietyllä ajan hetkellä tehdyistä havainnoista. Vastaavasti voidaan tehdä sääennusteita (ks. tiivistelmän [17] viitteet) ja arvioita ilmastonmuutoksesta [13] sekä ennustaa vedenkorkeutta ja virtaamaa [24].

Tieteellisissä artikkeleissa esitetyt mallit ovat usein opetuskäyttöön liian monimutkaisia. Yleisemmissä yhteyksissä mallit puolestaan esitetään tyypillisesti ilman matemaattisia kaavoja. Joihinkin laskentatyökaluihin liittyvillä sivustoilla esitellään kuitenkin myös perus- ja lukio-opetukseen sopivia matemaattisia malleja. Esimerkiksi MapleSoftin Math Matters -sivustolla [14] on esitetty useita yläkoulun ja lukion matematiikan sisältöihin, kuten trigonometrisiin funktioihin, logaritmiin, derivaattaan ja integraalilaskentaan, liittyviä malleja. TV-sarjan Num3rot (engl. Numb3rs) jaksoissa esiintyvien ongelmien mallintamisessa käytettäviä matematiikan osa-alueita on puolestaan esitelty The Math Behind Numb3rs -sivustolla [22], jossa voi katsoa malleihin liittyviä animaatioita ja ladata Mathematica-ohjelmistolla käytettäviä tiedostoja. Mathematican puolestaan saa hankittua edullisimmin ostamalla Raspberry Pi -tietokoneen [7], joka edullisen hintansa vuoksi on kasvattanut suosiotaan myös sääasema- ja mediasoitinkäytössä.

Numeeriset menetelmät ja algoritmit

Tuulivoimalan vaikutusta esimerkiksi tutkan toimintaan voidaan simuloida tietokoneella.Koulumatematiikka on pääosin symbolista laskentaa. Numeeriset menetelmät, joiden rooli lukio-opetuksessakin on varsin vähäinen, ovat kuitenkin merkittävässä roolissa niin luonnontieteiden kuin muidenkin tieteenalojen sovelluksissa [10]. Tästä syystä niiden tarpeellisuutta olisikin hyvä tuoda esille entistä laajemmin. Esimerkiksi korkeamman asteen yhtälön ratkaiseminen symbolisesti on mahdollista vain tietyissä erikoistapauksissa. Valitettavan usein käytännön ongelmat johtavat näitä erikoistapauksia monimutkaisempiin yhtälöihin. Eräs hyvä esimerkki liittyy kemiallisen tasapainon laskutehtäviin; tarkasteltaessa kaasujen osapaineita tasapainotilassa nitrosyylikloridin hajoamisreaktiossa päädytään neljännen asteen yhtälön ratkaisemiseen, joka voidaan toteuttaa Newtonin menetelmällä [16].

Nykyisin käytössämme on runsaasti digitaalisia mittaus- ja kuvauslaitteita. Esimerkiksi karttojen tuottamiseen käytetään satelliittikuvia ja lääketieteellistä kuvantamista käytetään sairauksien diagnosoinnissa. Kuvien laadun parantamiseksi ja niiden sisältämän informaation selkeyttämiseksi kuvissa olevia häiriöitä ja vääristymiä poistetaan käytännössä matemaattista optimointitehtävää numeerisesti ratkaisemalla. Mobiililaitteiden kameroissakin on kuvan laatua parantavia ohjelmia, joiden suorittaminen pitää tehdä nopeasti. Tehokkaan laskentamenetelmän valitseminen tai kehittäminen onkin tärkeä osa laitteessa käytettävän ohjelmiston suunnitteluvaihetta.

Myös teollisuuskäyttöön suunnitellut koneet ja laitteet ovat yhä enenevässä määrin tietokoneohjattuja. Esimerkiksi makeistehtaan linjastolla konenäköä hyödyntävä laite poistaa virheelliset makeiset. Toiminta perustuu kuvankäsittelymenetelmiin ja nopeasti suoritettaviin laskutoimituksiin, joiden perusteella laite määrittelee, onko tuote halutun kokoinen ja muotoinen. Konenäön avulla voidaan myös useilla muilla aloilla, kuten esimerkiksi paperi- ja metalliteollisuudessa, nopeuttaa tuotteiden tarkastusvaihetta ja parantaa laatua.

Numeeristen ratkaisumenetelmien ja niiden tietokonetoteutukseen liittyvien algoritmien kehittäminen mahdollistaa uusien lähestymistapojen hyödyntämisen ja tarjoaa enemmän mahdollisuuksia tehokkaaseen laskentaan kuin pelkkä tietokoneiden laskentatehon lisääminen. Tehokkaat ratkaisumenetelmät mahdollistavat entistä suurempien ja vaativampien ongelmien ratkaisemisen. Tämän voi helposti havaita käsin laskienkin; eri menetelmiä tai algoritmeja käyttäen tarvitaan erilainen määrä laskutoimituksia (ks. esim. [2]). Ratkaisun laskemiseen käytettävä aika kasvaa laskutoimitusten määrän lisääntyessä. Kun kehitetyt mallit muuttuvat monimutkaisemmiksi, kasvaa myös ohjelmistoteknisen tiedon merkitys tietokonetoteutuksessa tarvittavassa ohjelmoinnissa.

Tietokonesimulointi

Maxwellin yhtälöiden avulla voidaan simuloida matkapuhelimen sähkömagneettista säteilyä.Kun malleihin perustuvat laskelmat tehdään tietokoneella, saadaan tietokonesimulaatioiden tuloksia. Lukujonoihin liittyy yksinkertaisia tehtäviä, joita on mahdollista ratkoa oppitunnilla. Populaatiodynamiikkaa käsittelevistä lukujonomalleista tuttu esimerkki lienee oppikirjoissakin esiintyvä Fibonaccin malli kanien lisääntymisestä. Ongelman simulointi esimerkiksi taulukkolaskentaohjelmaa hyödyntämällä on huomattavasti helpompaa ja nopeampaa kuin suljetussa muodossa olevan laskukaavan johtaminen. Monimutkaisempia populaatiodynamiikan malleja voidaan muodostaa esimerkiksi differentiaaliyhtälöiden avulla, huomioi­malla eliöiden syntyvyys ja kuolleisuus [3, s. 293], joihin vaikuttavat myös ravintotilanne ja saaliiksi joutumisen todennäköisyys [5, s. 413]). Sen sijaan, että tarkastellaan koko lajia yksittäisenä populaationa, voidaan metapopulaatiomalleja käytettäessä huomioida myös eri elinympäristöissä sijaitsevat populaation osat [11, s. 289].

Kun tarkasteltavien muuttujien määrä kasvaa, mallin pohjalta toteutettavan tietokoneohjelman laatiminen muuttuu haastavammaksi. Tästä syystä opettajan ei aina olekaan tarkoituksenmukaista tehdä omaa tietokonetoteutusta. Sen sijaan ilmiöi­tä voi havainnollistaa sovellusaluetta käsittelevän ohjelman tai appletin avulla (ks. esim. [19, 9, 23]). Yleiskäyttöisempiä simulointiohjelmia voi hyödyntää esittelemällä valmiita ratkaisuja tai ajankäytön salliessa toteuttamalla laskennan luokkatilanteessa. Esimerkiksi FEKO-ohjelmiston (josta ilmaisversiokin saatavilla) sivuilta löytyy esimerkkejä laskennallisen sähkömagnetiikan sovelluksista [8]. Kaupalliseen COMSOL Multiphysics -ohjelmistoon puolestaan liittyy kaikille avoimia suomen- ja englanninkielisiä webinaareja [18], joita voi seurata myös Android-käyttöjärjestelmään ilmaiseksi saatavalla GoToMeeting-sovelluksella [6].

Yhteiskunnallisessa mielessä simulointia voidaan hyödyntää luomalla skenaarioita erilaisten olosuhteiden aiheuttamista muutoksista. Esimerkkinä tästä voisivat olla vaikkapa erilaisten talouden elvyttämistoimenpiteiden kokeileminen tai lääkinnän merkitys tartuntataudin leviämisen estämisessä. Viihdeteollisuus puolestaan hyödyntää tietokonesimulointia tuottamalla tietokonepelejä ja elokuvatehosteita. Ydinvoimalan mahdollisten ongelmatilanteiden harjoittelu tietokonesimuloidusti voi pelastaa ihmishenkiä. Siltojen ja muiden rakenteiden kestävyyttä voidaan simuloida jo suunnitteluvaiheessa. Myös liikenneruuhkia ja tulipalon kehittymistä [12] voidaan simuloida tietokoneella. Usein tietokonesimulaation avulla voidaankin testata ilmiötä tai tapahtumaa nopeammin, kustannustehokkaammin ja turvallisemmin kuin kokeellisten testien ja pienoismallien avulla.

Viitteet

Tags: 

Lisää eDimensiossa

Mihin matematiikkaa tarvitaan , 16. elokuu 2017 - 9:00
Laskukone vauvan aivoissa , 16. elokuu 2017 - 9:00
Dimensio 4/2017 , 16. elokuu 2017 - 1:00
Dimensio 3/2017 , 23. huhtikuu 2017 - 9:00
Eurajoen vesitornin Foucault’n heiluri , 22. huhtikuu 2017 - 9:00
Historiaa, fysiikkaa ja fysiikan historiaa , 2. huhtikuu 2017 - 9:00
Dimensio 2/2017 , 31. maaliskuu 2017 - 9:00
Erään matematiikan vihaajan tunnustuksia , 2. helmikuu 2017 - 9:00
Dimensio 1/2017 , 26. tammikuu 2017 - 9:00
GeoGebra-täydennyskoulutuksia verkossa , 6. joulukuu 2016 - 9:00
Dimensio 6/2016 , 6. joulukuu 2016 - 9:00
MAOLin syyskoulutuspäivät Oulussa , 26. lokakuu 2016 - 9:00
Taide taittaa matematiikkaa – Osa 2(2) , 26. lokakuu 2016 - 9:00
Lukion tärkein ainevalinta? , 26. lokakuu 2016 - 9:00
Dimensio 5/2016 , 26. lokakuu 2016 - 9:00
GeoGebra tänään , 26. lokakuu 2016 - 9:00
Dimensio 4/2016 , 24. lokakuu 2016 - 9:00
Taide taittaa matematiikkaa – Osa 1(2) , 22. lokakuu 2016 - 9:00
Dimensio 3/2016 , 21. lokakuu 2016 - 9:00
Dimensio 2/2016 , 12. lokakuu 2016 - 9:00
Lukion tärkein ainevalinta? , 24. syyskuu 2016 - 9:00
Hattulan silloilta , 8. syyskuu 2016 - 9:00
Lukion fysiikan OPS muutosten edessä , 8. syyskuu 2016 - 9:00
Taikatempuista motivaatiota opiskeluun , 25. elokuu 2016 - 9:00
Super-Ada innostaa IT-alalle , 4. helmikuu 2016 - 9:00
Dimensio 1/2016 , 30. tammikuu 2016 - 8:00