Kymmenjärjestelmä desimaalilukujen ja mittayksiköiden muunnosten pohjana

Kirjoittaja: 

Hannele Ikäheimo: matematiikan opetuksen kouluttaja
A. Miten saadaan desimaalilukuihin ymmärrystä 10-järjestelmän avulla?
B. Miten saadaan mittayksiköiden muunnoksiin ymmärrystä ja niiden hallinta pysyväksi tukipisteiden ja 10-järjestelmän avulla?

A. Desimaalilukuja kymmenjärjestelmän avulla

Oppilaiden käsityksiä 10-järjestelmästä 

8.-luokkalainen:

9.-luokkalainen:

Virheitä ja syitä virheisiin:

 0,5 < 0,125  koska 5 < 125, niin 0,5 < 0,125
 3,3 + 1,03 = 4,6   koska ei ymmärretä desimaaliluvun käsitettä
 10 · 1,3 =  1,30  koska 10 · 13 = 130, niin 10 · 1,3 = 1,30
 132 : 100 = 0,132  koska ei hallita 10-järjestelmää eikä jakolaskun käsitettä

OPS 2016  luonnos luokille 3 – 6:  “Tavoitteena on varmistaa, että oppilas ymmärtää kymmenjärjestelmän periaatteen sekä desimaaliluvut sen osana.”

Kymmenjärjestelmän periaate:  Jokainen lukuyksikkö on 10-kertainen edelliseen lukuyksikköön verrattuna ja 10:s osa sitä seuraavasta lukuyksiköstä.  Mitä se tarkoittaa konkreettisesti, kun luvut rakennetaan 10-järjestelmävälineillä.

Miten luvusta saadaan kymmenesosa?  

Luvut kirjoitetaan taulukon muotoon eri vaiheita ääneen selostaen:

 

T

S

K

 Y,

ko

so

to

         1034

1

0

3

4

 

 

 

1034 :10 = 103,4

 

1

0

3,

4

 

 

103,4 : 10 = 10,34

 

 

1

0,

3

4

 

10,34 : 10 = 1,034

 

 

 

1,

0

3

4

Miten voidaan korjata virheitä?

Virheellisen ratkaisun  0,5 < 0,125  luvut rakennetaan paikka-alustalle ja huomataan, että  luku 0,5 on suurempi kuin luku 0,125.


Vastaavalla tavalla rakennetaan esimerkiksi alla olevat laskut paikka-alustalle:

3,3 + 1,03 =                      10 · 1,3  =                        

B.  Mittayksiköiden muunnoksia

Virheitä ja syitä virheisiin

Lukion alussa oppilas osasi täydentää: km, hm, dam, m, __, __, __   —>   km, hm, dam, m, dm, cm, mm 

Tämä vastaus oli näkyvillä, kun hänen piti täydentää massan yksiköiden lyhenteet:  __, __, __, g, __, __, __  

Oppilas kirjoitti: “En muista massan yksiköitä.”

Kysytään: Miksi tarvitaan hehtometriä ja dekametriä?

Jos opetetaan pituuden yksiköitä ilman hehtometriä ja dekametriä, niin pitää muistaa kuinka monta yksikköä jää tyhjäksi:  mm,  cm,  dm,  m,  __,  __,  km. Silloin oppilas voi vastata kuten tämä 9. luokkalainen, joka ei ollut oppinut mittayksiköiden yhteyttä 10-järjestelmään.

9. luokkalainen poika osasi täydentää  pituuden yksiköiden lyhenteet: 

km, hm, dam, m, __, __, __    —>  km, hm, dam, m, dm, cm, mm. 

Kun kysyin, kuinka monta metriä dekametri on, hän ehdotti 10 metriä.

“Kuinka pitkä on yksi  hehtometri?” “Koska yksi kilometri on 1000 metriä, niin yksi hehtometri on 500 metriä.”

Virheitä eräässä 9. luokassa keväällä 2014

1 m =  0, 1 dm                                   1 m = 0,01 dm

1 m = 0,1 km                                            1 m = 0,01 km

30 kg = 300 g                                            30 kg = 3000 g

1 m2 = 0,1 dm2                                            1 m2 = 10 dm2                                            1 m2 = 1000 dm2

 6 dm3 = 0,6 l                                            6 dm3 = 6000 l

Maitopurkin tilavuus on  0,1 m3  ja  10 dm3.

Nämä virheet voivat johtua siitä, että arjessa ei enää mitata samassa määrin, kuin aikaisemmin. Luokilla 1 – 6  ei yleensä mitata erilaisilla mittausvälineillä. Tällöin mittaustulokset voitaisiin ymmärtää ja vähitellen myös muistaa. Mittaamista kahteen suuntaan pitäisi korostaa: 1 m = 100 cm ja 1 cm = 0,01 m.

Erillinen mittausvihko olisi tarpeen. Siihen oppilaat voivat merkitä mittaustuloksiaan lukuvuoden aikana.

Mittayksikkötaulut ja tukipisteet kuvina

Olen tehnyt mittayksikkötaulut, joissa on piirroskuvia tukipisteistä: 

pituus, massa, tilavuus litroina, pinta-ala ja tilavuus kuutioina

Pituus

 

Taulusta löytyvät ne pituudet, jotka voidaan itse näyttää (mm, cm, dm ja m). Liitetään pituudet oppilaiden omiin kokemuksiin ja keksitään niihin tukipisteitä.

Olen liittänyt jokaiseen mittayksikköön 6  korttia, jotka oppilaat voivat asettaa järjestykseen mittayksikkötaulujen mukaisesti. Alla pituuteen liityvät kortit.

Pituuden yksikkömuunnoksia

Useimmiten osataan 1 cm = 10 mm, mutta  1 mm = _____ cm  ei osata.

Tämä muunnos myös osataan 1 m = 100 cm, mutta  1 cm = _____ m  ei osata.

Tätä voidaan konkretisoida esimerkiksi metrin pituisella uraviivaimella, 10-sauvalla ja 1-kuutiolla:

100 cm = 1 m   ja  1 cm = 0,01 m   ja  tämä luetaan: yksi senttimetri on sadasosa metristä.

Desimaalilukujen lukemiseen kannattaa kiinnittää huomiota: 

0,1 luetaan yksi kymmensosa ja  0,01 luetaan yksi sadasosa ja 0,001 yksi tuhannesosa.

Muunnoksia voidaan tehdä piirroskuvia sisältävän mittayksikkötaulun avulla:

Esim. 1. Muunna 3 m 5 cm senttimetreiksi. Se tarkoittaa kolmea metriä, ei yhtään desimetriä, mutta lisäksi tulee viisi senttimetriä: 3 m 5 cm = 305 cm.

Esim. 2. Muunna 1 cm metreiksi. Se tarkoittaa yhtä senttimetriä, ei yhtään desimetriä, eikä yhtään metriä. Koska muunnos halutaan metreinä, “metri-nollan” jälkeen tulee  pilkku: 1 cm = 0,01 m.

Esim. 3. Muunna  1 m = _____ km. Metrin kohdalle ykkönen ja siitä vasemmalle kilometriin asti nollia. Koska halutaan pituus kilometrinä, “kilometri-nollan” jälkeen tulee pilkku: 1 m = 0,001 km.

Pinta-ala

Neliömetrin kokoinen neliö voidaan tehdä neliödesimetrin kokoisista pahvineliöistä ja todeta, että  1 m2 = 100 dm2

Aarin kokoinen neliö voidaan tehdä pihalle.  Aari =  10 m · 10 m = 100 m2

Hehtaarin kokoinen neliö voidaan tehdä mittapyörän avulla pellolle.

1 hehtaari =  100 m · 100 m = 10 000  m2 = 100  aaria

Tilavuus kuutioina ja litroina

Tilavuuksia  ja niiden välisiä suhteista voidaan tutkia 10-järjestelmävälineiden avulla.

Lisätietoa:

  • Hannele Ikäheimo: ALVA, Ammattilaskennan valmiuksien kartoitus (opikko.fi)
  • Hannele Ikäheimo: KYMPPI-kartoitus, 10-järjestelmän hallinnan kartoitus  (earlylearning.fi)
  • Hannele Ikäheimo: KYMPPI-kirja, Matematiikan osaaminen vahvaksi 10-järjestelmällä (earlylearning.fi)
  • Mittayksikkötaulut ja tukipisteet sekä kortit (tevella.fi)
  • opperi.fi > Mitä uutta? > Päivityksiä-kohdasta löytyvät Hannu Korhosen artikkelit ja arviot Dimensiossa ja eDimensiossa (10.2.2013, 27.2.2013 ja 18.3 2013) 
Piirrokset: Ilari Lampinen                                           

Tags: 

Lisää eDimensiossa

Vuoden 2017 opettaja: Vesi, wasser, eau, voda , 19. marraskuu 2017 - 9:57
Dimensio 6/2017 , 19. marraskuu 2017 - 9:01
Opettaja artikkelin kirjoittajana , 16. marraskuu 2017 - 9:36
Dimensio 5/2017 , 29. lokakuu 2017 - 9:16
Mihin matematiikkaa tarvitaan , 16. elokuu 2017 - 9:00
Laskukone vauvan aivoissa , 16. elokuu 2017 - 9:00
Dimensio 4/2017 , 16. elokuu 2017 - 1:00
Dimensio 3/2017 , 23. huhtikuu 2017 - 9:00
Eurajoen vesitornin Foucault’n heiluri , 22. huhtikuu 2017 - 9:00
Historiaa, fysiikkaa ja fysiikan historiaa , 2. huhtikuu 2017 - 9:00
Dimensio 2/2017 , 31. maaliskuu 2017 - 9:00
Erään matematiikan vihaajan tunnustuksia , 2. helmikuu 2017 - 9:00
Dimensio 1/2017 , 26. tammikuu 2017 - 9:00
GeoGebra-täydennyskoulutuksia verkossa , 6. joulukuu 2016 - 9:00
Dimensio 6/2016 , 6. joulukuu 2016 - 9:00
Taide taittaa matematiikkaa – Osa 2(2) , 26. lokakuu 2016 - 9:00
Lukion tärkein ainevalinta? , 26. lokakuu 2016 - 9:00
Dimensio 5/2016 , 26. lokakuu 2016 - 9:00
GeoGebra tänään , 26. lokakuu 2016 - 9:00
MAOLin syyskoulutuspäivät Oulussa , 26. lokakuu 2016 - 9:00
Dimensio 4/2016 , 24. lokakuu 2016 - 9:00
Taide taittaa matematiikkaa – Osa 1(2) , 22. lokakuu 2016 - 9:00
Dimensio 3/2016 , 21. lokakuu 2016 - 9:00
Dimensio 2/2016 , 12. lokakuu 2016 - 9:00
Lukion tärkein ainevalinta? , 24. syyskuu 2016 - 9:00
Hattulan silloilta , 8. syyskuu 2016 - 9:00